수리 능력 14

1. 순열과 조합

수학의 순열과 조합을 통해 우리는 세상사의 실용적인 확률, 이를테면 일이나 사물을 어떻게 정리하고 어떻게 생각할지와 같은 것들을 이해할 수 있다.

2. 대수학의 등식

대수학이 등장하면서, 서로 달라 보이는 것들이 실은 같을 수 있음을 수학적으로 또한 추상적으로 입증할 수 있게 되었다. 수학 기호를 조작함으로써 양쪽이 일치하거나 불일치함을 보일 수 있는데, 이로 말미암아 인류는 실로 엄청난 공학적, 기술적 능력을 획득하게 되었다. 대수학의 기초만 알아도 여러 가지 중요한 결과들을 이해할 수 있다.

3. 무작위성

비록 인간의 뇌가 이해하느라 애를 먹지만 세상의 대부분은 무작위적이며 비연속적이고 비순서적인 일들로 가득하다. 우리는 무작위성에 '속아서', 우연히 일어난 일과 우리의 통제 밖의 일 사이에 인과관계를 부여한다. 이런 식으로 행운에 속는 효과, 즉 잘못된 패턴을 찾아내는 실수를 수정하지 않으면 우리는 사건들이 실제보다 더 예측 가능하다고 믿으며 그에 따라 행동하는 우를 범하게 될 것이다.

4. 확률 과정 

독립변수의 움직임을 정확하게 예측하기란 불가능하지만 확률 과정을 통해 시스템을 이해할 수 있다. 이를테면 매일의 주가를 맞힐 수는 없지만 장기간의 주가 분포를 통해 확률을 추산할 수는 있다. 주식시장이 하루에 10% 등락할 가능성보다 1% 등락할 가능성이 큰 것은 분명하다.

5. 복리

복리란 원금에 이자가 붙으면서 그 이자에 이자가 붙는 방식을 말한다. 이는 선형적이 아니라 기하급수적 과정이다. 생각과 인간관계도 그럴 수 있다. 물질적 세계에서는 제약을 받지만 비물질적인 세계에서는 더 자유롭게 복리로 불어날 수 있다. 복리는 돈의 시간 가치와 연관되어 있는데 이는 모든 현대 금융의 초석이라고 할 수 있다.

6. 0의 곱셈

어떤 수에 영을 곱하면 아무리 큰 수라도 영이 된다. 이는 수학뿐만 아니라 인간 세계에서도 마찬가지다. 어떤 시스템에서는 한 부분의 실패가 나머지 전부의 공든 탑을 무너뜨릴 수 있다. '0'을 극복하는 것이 다른 부분을 키우려는 노력보다 훨씬 나을 수 있다.

7. 물갈이

회원을 관리하는 서비스회사와 보험회사들은 물갈이 개념을 잘 이해하고 있다. 매년 일정 수의 고객이 빠져나가고 새로운 고객들로 교체해야 한다. '붉은 여왕 효과'에서 볼 수 있듯이, 제자리에 가만히 서있으면 뒤처지는 거나 마찬가지다. 물갈이는 많은 사업과 인체에서 쉽게 볼 수 있다. 일정량이 주기적으로 빠져나가고, 새롭게 더하기 전에 교체해야 한다.

8. 대수의 법칙

표본이 많아질수록 실제의 값과 기댓값의 차이가 줄어든다. 예를 들어 무작위로 500명을 뽑아 평균 신장을 구하는 것이, 무작위로 5명을 뽑아 구할 때보다 실제 평균 신장에 가까워질 가능성이 훨씬 크다. 반대로 표본이 적다면 마땅히 의구심을 갖고 살펴봐야 한다는 소수의 법칙도 있다.

9. 정규분포

중앙에 의미 있는 평균이 위치하고, 평균에서 멀어질수록 가능성이 희박해지는 표준편차가 나타나는 종형 분포를 말한다. 그런데 주식시장과 같은 인간 사회에서는 정규분포를 따르지 않는 경우도 있음을 유의해야 한다.

10. 파워 법칙

파워 법칙에서는 하나의 변수가 다른 변수와 선형 관계를 맺지 않고 지수 관계를 맺는다. 리히터 규모에 따르면 강도 8의 지진은 강도 7보다 10배 더 파괴적이고, 강도 9는 8보다 10배 더 파괴적이다. 평균적인 지진이란 있을 수 없다.

11. 두꺼운 꼬리

정규분포에 비해 꼬리가 두꺼운 경우가 있다. 극단적 사건들이 일어날 확률이 실제로 훨씬 높다는 얘기다. 두꺼운 꼬리가 음(-)의 영역에 있다면 훨씬 더 위험할 수 있다. 반대로 양(+)의 영역에 있다면 수익성이 훨씬 더 클 수도 있다. 인간 사회의 많은 부분은 정규분포보다 두꺼운 꼬리를 지녔다고 한다.

12. 베이지안 업데이팅

새로운 정보가 더해지면 이와 관련된 기족 확률 모두에 점증해 반영하는 것을 베이지안 업데이팅이라고 한다. 다시 말해 기존 확률과 새로운 정보를 결합해 최상의 결론에 도달해야 한다. 직관을 따르는 인간의 의사결정 과정과는 사뭇 다르다.

13. 평균 회귀

정규분포를 따르는 시스템에서는 평균에서 이탈하는 것이 길어지면 소위 대수의 법칙, 즉 관측 횟수가 늘어남에 따라 평균으로 돌아가는 경향이 있다. 알고 보면 평균으로 회귀하는 것뿐인데도, 아픈 사람이 자연스럽게 회복하는 것이 약초 치료를 시작한 무렵과 겹친다고 해서, 또는 형편없는 운동 팀이 연승 행진을 한다고 해서 속는 경우가 종종 있다. 통계적으로 일어날 가능성이 있는 사건과 인과관계를 헷갈리면 안 된다.

14. 자릿수

대부분의 경우 정략적 표현을 정확하게 하는 것은 불가능하고 불필요하기도 하다. 예를 들어 우리 은하계와 이웃 은하계 사이의 거리가 정확하게 몇 킬로미터인지 따질 필요 없이 몇 자릿수인가가 중요하다. 즉, 100만 킬로미터 떨어져 있는가, 아니면 10억 킬로미터 떨어져 있는가의 문제다. 이 사고방식은 지나치게 정확성을 추구하는 습관을 고쳐줄 수 있다.